כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 התחלה
1.1 הגדרות
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
הגדרה 1.1. \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) תיקרא הרחבה רדיקלית פשוטה אם קיימים \(\alpha\in\MKbbe\) ו-\(n\in\MKnatural\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\alpha\right)\) ו-\(\alpha^{n}\in\MKfield\). כמו כן, \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) תיקרא הרחבה רדיקלית אם קיימים \(\MKseq{\alpha},r\in\MKbbe\) ו-\(\MKseq n,r\in\MKnatural\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\MKseq{\alpha},r\right)\) ו-\(\left(\alpha_{i}\right)^{n_{i}}\in\MKfield\left(\MKseq{\alpha},{i-1}\right)\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\).
\(\clubsuit\)
מטרתנו היא לקבוע מתי ניתן לפתור פולינום נתון באמצעות חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש; הצורה הפורמלית לומר זאת היא שהפולינום מתפצל בשדה הרחבה רדיקלית.
\(\clubsuit\)
מטרה נוספת היא לקבוע מתי יש נוסחה קבועה לפתרון כל הפולינומים ממעלה כלשהי מעל שדה נתון.
הגדרה 1.2. \(\:\)
נאמר שפולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\)ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים אם קיימת הרחבות שדות רדיקלית \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) כך ש-\(f\) מתפצל ב-\(\MKbbk\).
כמו כן נאמר שפולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) הוא פתיר אם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe_{f}}{\MKfield}\right)\) היא חבורה פתירה, כאשר \(\MKbbe_{f}\) הוא שדה הפיצול של \(f\).
מסקנה 1.3. יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ונסמן ב-\(\MKbbe_{f}\) את שדה הפיצול שלו, מתקיים \(f\) ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים אם"ם \(\nicefrac{\MKbbe_{f}}{\MKfield}\) היא הרחבה רדיקלית.
הגדרה 1.4. איבר \(\zeta\in\MKfield\) ייקרא שורש יחידה מסדר \(n\in\MKnatural\), אם \(\zeta^{n}=1\), כמו כן ייקרא שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\) אם (בנוסף) \(\zeta^{k}\neq1\) לכל \(n>k\in\MKnatural\).
הגדרה 1.5. חבורת גלואה1ערך בוויקיפדיה: אווריסט גלואה. חבורת גלואה של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):=\left\{ \varphi\in\MKaut\left(\MKbbe\right):\varphi\mid_{\MKfield}=\MKid_{\MKfield}\right\} \) (פעולת החבורה היא הרכבה כמובן).
הערה:
במקומות אחרים קוראים לקבוצה \(\left\{ \varphi\in\MKaut\left(\MKbbe\right):\varphi\mid_{\MKfield}=\MKid_{\MKfield}\right\} \)חבורת האוטומורפיזמים של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) ומסמנים אותה ב-\(\MKaut\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), את השם "חבורת גלואה" ואת הסימון \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) הם שומרים למקרה שבו \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה (אנחנו נגדיר מהי הרחבת גלואה בהמשך).
\(\clubsuit\)
כלומר \(\MKclf\) ו-\(\MKclg\) הן פונקציות בין תתי-החבורות של חבורת גלואה של ההרחבה, לבין קבוצת שדות הביניים של ההרחבה: \(\MKclf\) מתאימה לכל תת-חבורה את שדה הביניים הגדול ביותר שנשמר תחת פעולתה, ו-\(\MKclg\) מתאימה לכל שדה ביניים את תת-החבורה הגדולה ביותר שהשדה נשמר תחתיה. השאלה שנעסוק בה תהיה מתי \(\MKclf\) ו-\(\MKclg\) הופכיות זו לזו, כלומר מתי יש התאמה חח"ע ועל בין שדות הביניים של הרחבת שדות לבין תתי-החבורות של חבורת גלואה. או אז נוכל להשתמש בכלים החזקים שפיתחנו בקורס הקודם כדי לחקור את שדות הביניים, ולקבוע מתי ניתן לפתור את הפולינום שיצר את ההרחבה.
\(\clubsuit\)
אין זה מוכרח שיתקיים \(\MKclf\left(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right)=\MKfield\), כך לדוגמה לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKrational\left(\sqrt[3]{2}\right)}{\MKrational}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\sqrt[3]{2}\right)=\sqrt[3]{2}\) ולכן \(\MKclf\left(\MKgal\left(\nicefrac{\MKrational\left(\sqrt[3]{2}\right)}{\MKrational}\right)\right)=\MKrational\left(\sqrt[3]{2}\right)\).
למה 1.6. לכל תת-חבורה \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), הקבוצה \(\left\{ x\in\MKbbe\mid\forall\sigma\in H\ \sigma\left(x\right)=x\right\} \) היא שדה המכיל את \(\MKfield\).
הגדרה 1.7. לכל תת-חבורה \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) נסמן \(\MKbbe^{H}:=\left\{ x\in\MKbbe\mid\forall\sigma\in H\ \sigma\left(x\right)=x\right\} \), \(\MKbbe^{H}\) ייקרא שדה השבת של \(H\).
הגדרה 1.8. התאמות גלואה התאמות גלואה של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הן שתי הפונקציות הבאות:
\(\MKclg:\left\{ \MKbbk\mid\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\ \text{הוא שדה ביניים של}\MKbbk\right\} \rightarrow\left\{ H\mid H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right\} \) המוגדרת עי (לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\)):\[
\MKclg\left(\MKbbk\right):=\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)=\left\{ \sigma\in\MKaut\left(\MKbbe\right)\mid\forall x\in\MKbbk\ \sigma\left(x\right)=x\right\}
\]
ּצריך להסביר שהאוטומורפיזמים מאפשרים לנו לחקור את הקשרים האלגבריים בין שורשי הפולינום היוצר את ההרחבה מבלי "ללכלך את הידיים".
מסקנה 1.9. מתקיים \(\MKclf\left(\left\{ \MKid\right\} \right)=\MKbbe\), \(\MKclg\left(\MKbbe\right)=\left\{ \MKid\right\} \) ו-\(\MKclg\left(\MKfield\right)=\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\).
הגדרה 1.10. נאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם \(\MKclf\) ו-\(\MKclg\) הופכיות זו לזו. כמו כן, אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה נאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה ציקלית/אבלית/פתירה אם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) היא חבורה ציקלית/אבלית/פתירה.
בכיתה הגדרנו שהרחבת גלואה היא הרחבה נורמלית וספרבילית, אנחנו נראה בהמשך שאלה הן הגדרות שקולות.
מסקנה 1.11. \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם"ם לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) גם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\) היא הרחבת גלואה.
\(\:\)
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
1.2 קצת על חבורת גלואה
למה 1.12. יהיו \(\alpha\in\MKbbe\) ו-\(f\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(f\left(\alpha\right)=0\), מתקיים \(f\left(\sigma\left(\alpha\right)\right)=0\) לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. יהיו \(\MKseqz a,n\in\MKfield\) כך ש-\(f\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\), ויהי \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\).\[
\Rightarrow f\left(\sigma\left(\alpha\right)\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\left(\sigma\left(\alpha\right)\right)^{i}=\sum_{i=0}^{n}\sigma\left(a_{i}\right)\cdot\left(\sigma\left(\alpha\right)\right)^{i}=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\alpha^{i}\right)=\sigma\left(0\right)=0
\]
מסקנה 1.13. אם \(\MKbbe\) הוא שדה פיצול של פולינום כלשהו ב-\(\MKfield\left[x\right]\), אז לכל שדה הרחבה \(\Omega\) של \(\MKbbe\), ולכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\Omega}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbe\right)=\MKbbe\).
מסקנה 1.14. נניח ש-\(\MKbbe\) הוא שדה פיצול של פולינום כלשהו ב-\(\MKfield\left[x\right]\) ויהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום כלשהו2לאו דווקא זה ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הפיצול שלו.. אם קיים \(\alpha\in\MKbbe\) כך ש-\(f\left(\alpha\right)=0\), אז \(f\) מתפצל ב-\(\MKbbe\).
\(\clubsuit\)
כלומר הפולינומים ב-\(\MKfield\left[x\right]\) מתחלקים לשני סוגים: אלו שאין להם ולו שורש אחד ב-\(\MKbbe\), ואלו שמתפצלים ב-\(\MKbbe\) - אין פולינומים שרק חלק מהשורשים שלהם ב-\(\MKbbe\).
\(\clubsuit\)
בהמשך נקרא להרחבות כאלה הרחבות נורמליות.
טענה 1.15. נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה אלגברית פשוטה, ויהי \(\alpha\in\MKbbe\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\alpha\right)\); לכל שורש \(\beta\in\MKbbe\) של \(m_{\alpha}\) קיים \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) יחיד כך ש-\(\sigma\left(\alpha\right)=\beta\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. היחידות נובעת מהעובדה שהיוצרים של הרחבה קובעים כל אוטומורפיזם, א"כ נוכיח את הקיום. ראינו בעבר כי לכל \(\beta\in\MKbbe\) מתקיים:\[
\MKfield\left(\beta\right)=\left\{ \begin{array}{c|c}
\frac{P\left(\beta\right)}{Q\left(\beta\right)} & P,Q\in\MKfield,\ Q\left(\beta\right)\neq0\end{array}\right\}
\]כאשר פעולות החיבור והכפל מוגדרות כמו בשדה שברים3כלומר:\[\begin{align*}
\frac{P_{1}\left(\beta\right)}{Q_{1}\left(\beta\right)}+\frac{P_{2}\left(\beta\right)}{Q_{2}\left(\beta\right)} & :=\frac{P_{1}\left(\beta\right)\cdot Q_{2}\left(\beta\right)+P_{2}\left(\beta\right)\cdot Q_{1}\left(\beta\right)}{Q_{1}\left(\beta\right)\cdot Q_{2}\left(\beta\right)}\\
\frac{P_{1}\left(\beta\right)}{Q_{1}\left(\beta\right)}\cdot\frac{P_{2}\left(\beta\right)}{Q_{2}\left(\beta\right)} & :=\frac{P_{1}\left(\beta\right)\cdot P_{2}\left(\beta\right)}{Q_{1}\left(\beta\right)\cdot Q_{2}\left(\beta\right)}
\end{align*}\]. בדיקה פשוטה מראה שההעתקה \(\frac{P\left(\alpha\right)}{Q\left(\alpha\right)}\mapsto\frac{P\left(\beta\right)}{Q\left(\beta\right)}\) (עבור \(\beta\in\MKbbe\) כלשהו) היא אנדומורפיזם4תזכורת: אנדומורפיזם הוא הומומורפיזם על (במקרה הזה על \(\MKfield\left(\beta\right)\)). המשמר את \(\MKfield\) (אם היא מוגדרת); הבעיות היחידות שיכולות לצוץ הן שההעתקה אינה מוכרחת להיות חח"ע, וייתכן שקיים \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(Q\left(\alpha\right)\neq0\) ו-\(Q\left(\beta\right)=0\) - שתי הבעיות הללו נפתרות אם"ם \(m_{\alpha}=m_{\beta}\).
משפט 1.16. יהי \(\MKbbk\) שדה ביניים של הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\), אם לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\), אז מתקיים \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ובנוסף \(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. נניח ש-\(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\) לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), ותהא \(f:\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\rightarrow\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(\sigma\right):=\left.\sigma\right|_{\MKbbk}\) לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\)5מההנחה נובע ש-\(f\) אכן מוגדרת היטב.. נשים לב לכך ש-\(f\) היא הומומורפיזם של חבורות, שגרעינו הוא \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\) ותמונתו \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\). מכאן ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), וע"פ משפט האיזומורפיזם הראשון מתקיים:\[
\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)
\]
מסקנה 1.17. יהי \(\MKbbk\) שדה ביניים של הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\), אם \(\MKbbk\) הוא שדה הפיצול של פולינום כלשהו ב-\(\MKfield\left[x\right]\) אז \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ו-\(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\).
1.3 הרחבות רדיקליות
טענה 1.18. נניח שיש ב-\(\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\in\MKnatural\), ויהי \(\zeta\in\MKfield\) כנ"ל. קבוצת שורשי היחידה מסדר \(n\) היא הקבוצה \(\left\{ \zeta^{k}\mid n\geq k\in\MKnatural\right\} \), וקבוצת שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר \(n\) היא הקבוצה \(\left\{ \zeta^{k}\mid n\geq k\in\MKnatural,\ \gcd\left(n,k\right)=1\right\} \).
\(\clubsuit\)
אנחנו רוצים לחקור הרחבות רדיקליות, ולשם כך נעסוק תחילה במקרה הכי פשוט של הרחבה כזו: \(\nicefrac{\MKfield\left(\zeta\right)}{\MKfield}\) כאשר \(\zeta\) הוא שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\). כדי לחקור הרחבה כזו נרצה תחילה למצוא את הפולינום המינימלי של \(\zeta\) כנ"ל, אנחנו יודעים שלכל \(n\geq k\in\MKnatural\) מתקיים \(\MKfield\left(\zeta\right)=\MKfield\left(\zeta^{k}\right)\) אם"ם \(\gcd\left(n,k\right)=1\), ולכן טבעי לנחש שהפולינום המינימלי של \(\zeta\) הוא:\[
\prod_{\gcd\left(n,k\right)}\left(x-\zeta^{k}\right)
\]
סימון:
לכל \(a\in\MKfield\) נסמן ב-\(\sqrt[n]{a}\) שורש של הפולינום \(x^{n}-a\), ונסמן ב-\(\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)\) את ההרחבה הפשוטה.
\(\clubsuit\)
בכל פעם שנשתמש בסימון זה אנו טוענים בנוסף שכל מה שאמרנו נכון לכל שורש של \(x^{n}-a\).
\(\clubsuit\)
למעשה הדבר היחיד שמעניין אותנו הוא ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) בת"ל, אבל ההוכחה תופסת בכל \(\MKhom\left(\MKbbe\right)\), אז למה לא?
להכניס כאן פולינומים ציקלוטומיים?
למה 1.19. \(\MKhom\left(\MKbbe\right)\) היא קבוצה בת"ל (כתת-קבוצה של מרחב הפונקציות \(\MKbbe^{\MKbbe}\) מעל \(\MKbbe\)).
בכיתה ראינו את הלמה הזו עבור \(\MKaut\left(\MKbbe\right)\) בלבד.
inverted 0status collapsed
הוכחה. נניח בשלילה שזוהי קבוצה תלויה ליניארית, ויהיו \(\MKseq a,m\in\MKbbe\) כך ש-\(\sum_{i=1}^{m}a_{i}\cdot\sigma_{i}=0\), ו-\(m\) הוא המספר הטבעי6להוציא את \(0\). המינימלי שעבורו קיים צר"ל כזה7בפרט \(a_{i}\neq0\) לכל \(m\geq i\in\MKnatural\).. יהי \(c\in\MKbbe\) כך ש-\(\sigma_{1}\left(c\right)\neq\sigma_{m}\left(c\right)\), ונשים לב לכך שלכל \(x\in\MKbbe\) מתקיים:\[\begin{align*}
S_{1} & :=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\cdot\sigma_{i}\left(c\right)\cdot\sigma_{i}\left(x\right)=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\cdot\sigma_{i}\left(cx\right)=0\\
S_{2} & :=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\cdot\sigma_{m}\left(c\right)\cdot\sigma_{i}\left(x\right)=\sigma_{m}\left(c\right)\cdot\sum_{i=1}^{m}a_{i}\cdot\sigma_{i}\left(x\right)=0
\end{align*}\]וממילא גם:\[
\sum_{i=1}^{{\color{red}m-1}}a_{i}\cdot\left(\sigma_{{\color{red}m}}\left(c\right)-\sigma_{i}\left(c\right)\right)\cdot\sigma_{i}\left(x\right)=\sum_{i=1}^{{\color{red}m}}a_{i}\cdot\left(\sigma_{{\color{red}m}}\left(c\right)-\sigma_{i}\left(c\right)\right)\cdot\sigma_{i}\left(x\right)=S_{2}-S_{1}=0
\]וזאת בסתירה להגדרת \(m\), שכן ע"פ הגדרת \(c\) מתקיים \(\sigma_{m}\left(c\right)-\sigma_{1}\left(c\right)\neq0\), וכפי שכבר הזכרנו \(a_{1}\neq0\).
טענה 1.20. נניח שיש ב-\(\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\in\MKnatural\) וש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה (לפי ההגדרה שלי: התאמות גלואה של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הופכיות זו לזו). אם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) היא חבורה ציקלית מסדר \(n\) (כלומר \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה ציקלית), אז קיים \(a\in\MKfield\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)\).
\(\clubsuit\)
כמובן שטענה זו היא הסיבה שבגללה התחלנו להתעניין בהתאמות גלואה ובמקרים שבהם הן הופכיות זו לזו (כלומר בהרחבות גלואה).
inverted 0status collapsed
הוכחה. יהי \(\zeta\in\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\), ויהי \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) יוצר של \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\). מהלמה (1.8) נובע שקיים \(x\in\MKbbe\) כך ש-\(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\cdot\sigma^{i}\left(x\right)\neq0\), יהי \(x\) כנ"ל ונסמן \(y:=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\cdot\sigma^{i}\left(x\right)\). מכאן שלכל \(n\geq k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sigma^{k}\left(y\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\sigma^{i+k}\left(\zeta^{i}\right)\cdot\sigma^{i+k}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\cdot\sigma^{i+k}\left(x\right)=\zeta^{-k}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i+k}\cdot\sigma^{i+k}\left(x\right)=\zeta^{-k}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\cdot\sigma^{i}\left(x\right)=\zeta^{-k}\cdot y
\]מכאן ש-\(\sigma^{k}\left(y\right)\neq y\) ו-\(\sigma^{k}\left(y^{n}\right)=y^{n}\) לכל \(n>k\in\MKnatural\), ולפיכך \(y^{n}\in\MKclf\left(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right)\) ו-\(\MKclg\left(\MKfield\left(y\right)\right)=\left\{ \MKid\right\} \). מהעובדה שהעתקות גלואה הופכיות זו לזו נובע כי:\[\begin{align*}
& y\in\MKclf\left(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right)=\MKclf\left(\MKclg\left(\MKfield\right)\right)=\MKfield\\
& \MKfield\left(y\right)=\MKclf\left(\MKclg\left(\MKfield\left(y\right)\right)\right)=\MKclf\left(\left\{ \MKid\right\} \right)=\MKbbe
\end{align*}\]כלומר אם נסמן \(a=y^{n}\) נקבל ש-\(\MKbbe=\left(\sqrt[n]{a}\right)\).
טענה 1.21. אם יש ב-\(\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\in\MKnatural\), אז לכל \(a\in\MKfield\), החבורה \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\) היא חבורה ציקלית, ובנוסף מתקיים: \[
\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\right|=\min\left\{ \begin{array}{c|c}
n\geq d\in\MKnatural & \left(\sqrt[n]{a}\right)^{d}\in\MKfield\end{array}\right\} =\left[\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right):\MKfield\right]
\]
\(\clubsuit\)
אנחנו נראה בהמשך שמהשוויון \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right):\MKfield\right]\) נובע ש-\(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה.
inverted 0status collapsed
הוכחה. נסמן:\[
m:=\min\left\{ \begin{array}{c|c}
n\geq d\in\MKnatural & \left(\sqrt[n]{a}\right)^{d}\in\MKfield\end{array}\right\}
\]יהי \(\zeta\in\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(m\in\MKnatural\), נשים לב לכך שלכל \(m\geq k\in\MKnatural\) מתקיים \(\left(\sqrt[n]{a}\cdot\zeta^{k}\right)^{m}-a=0\), ולכן מהלמה (1.1) נובע שלכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\) קיים \(m\geq k\in\MKnatural\) יחיד כך ש-\(\sigma\left(\sqrt[n]{a}\right)=\sqrt[n]{a}\cdot\zeta^{k}\); א"כ תהא \(f:\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\rightarrow\MKinteger_{m}\) פונקציה המחזירה לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\) את אותו \(k\) יחיד. מכיוון ש-\(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\) היא הרחבה פשוטה ש-\(\sqrt[n]{a}\) הוא יוצר שלה, נדע גם שלא קיימים \(\sigma,\tau\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)}{\MKfield}\right)\) כך ש-\(\sigma\neq\tau\) ו-\(\sigma\left(\sqrt[n]{a}\right)=\tau\left(\sqrt[n]{a}\right)\), כלומר \(f\) חח"ע. כעת נשים לב לכך ש-\(f\) היא גם הומומורפיזם של חבורות, כלומר \(f\) הוא שיכון של \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ב-\(\MKinteger_{m}\), ומכאן ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) היא חבורה ציקלית ו-\(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|\leq m\). מצד שני לכל \(m\geq d,e\in\MKnatural\) מתקיים \(\sqrt[n]{a}\cdot\zeta^{d}=\sqrt[n]{a}\cdot\zeta^{e}\Longleftrightarrow\zeta^{d}=\zeta^{e}\Longleftrightarrow d=e\), ולכן מהטענה הקודמת (1.4) ומהעובדה ש-\(\left(\sqrt[n]{a}\cdot\zeta^{k}\right)^{m}-a=0\) לכל \(m\geq k\in\MKnatural\) נובע ש-\(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|\geq m\). העובדה ש-\(\left[\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right):\MKfield\right]=m\) נובעת מהיות \(\left\{ \begin{array}{c|c}
\left(\sqrt[n]{a}\right)^{k} & m\geq k\in\MKnatural\end{array}\right\} \) בסיס של \(\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)\) מעל \(\MKfield\).
מסקנה 1.22. נניח שיש ב-\(\MKfield\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\in\MKnatural\) וש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה (לפי ההגדרה שלי: התאמות גלואה של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הופכיות זו לזו). \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה ציקלית אם"ם קיימים \(a\in\MKfield\) ו-\(n\in\MKnatural\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\sqrt[n]{a}\right)\), ובמקרה כזה \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=n\) (כלומר \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\cong\MKinteger_{n}\)).
משפט 1.23. נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה (לפי ההגדרה שלי: התאמות גלואה של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הופכיות זו לזו), ויהי \(\MKbbk\) שדה ביניים של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\). מתקיים \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) אם"ם לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\), ובמקרה כזה מתקיים גם \(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח שקיים \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) כך ש-\(\sigma\left(\MKbbk\right)\neq\MKbbk\), ויהיו \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ו-\(k\in\MKbbk\) כך ש-\(\sigma\left(k\right)\notin\MKbbk\)8מהיות \(\sigma\) אוטומורפיזם נובע ש-\(\left[\sigma\left(\MKbbk\right):\MKfield\right]=\left[\MKbbk:\MKfield\right]\), ולכן אם \(\sigma\left(\MKbbk\right)\neq\MKbbk\) אז \(\sigma\left(\MKbbk\right)\nsubseteq\MKbbk\).. מהיות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת גלואה נובע ששדה השבת של \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\) הוא בדיוק \(\MKbbk\)9\(\MKbbe^{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}=\MKclf\left(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right)=\MKclf\left(\MKclg\left(\MKbbk\right)\right)=\MKbbk\)., כלומר קיים \(\tau\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\) כך ש-\(\tau\left(\sigma\left(k\right)\right)\neq\sigma\left(k\right)\), יהי \(\tau\) כנ"ל.\[
\Rightarrow\left(\sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma\right)\left(k\right)=\sigma^{-1}\left(\tau\left(\sigma\left(k\right)\right)\right)\neq\sigma^{-1}\left(\sigma\left(k\right)\right)=k
\]\[
\Rightarrow\sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma\notin\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)
\]ומכאן ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\ntrianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\). הוכחנו שאם קיים \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) כך ש-\(\sigma\left(\MKbbk\right)\neq\MKbbk\) אז \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\ntrianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), ולכן אם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) אז לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\).
משפט 1.24. נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה רדיקלית, ויהיו \(\MKseq{\alpha},r\in\MKbbe\) ו-\(\MKseq n,r\in\MKnatural\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\MKseq{\alpha},r\right)\) ו-\(\left(\alpha_{i}\right)^{n_{i}}\in\MKfield\left(\MKseq{\alpha},{i-1}\right)\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\). נסמן \(N:=\MKlcm\left(\MKseq n,r\right)\); אם קיים שדה \(\Omega\) המרחיב את \(\MKfield\) שבו יש שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(N\), אז \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה פתירה.
inverted 0status collapsed
הוכחה. יהי \(\Omega\) שדה הרחבה של \(\MKfield\) כך שקיים \(\zeta\in\Omega\) המהווה שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(N\), ויהי \(\zeta\in\Omega\) כנ"ל. נסמן \(\MKbbk:=\MKfield\left(\zeta\right)\) ו-\(\MKbbl:=\MKbbe\left(\zeta\right)\) (א"כ \(\MKbbl=\MKbbk\left(\MKseq{\alpha},r\right)=\MKfield\left(\MKseq{\alpha},r,\zeta\right)\)).
ראשית נוכיח ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\) היא חבורה פתירה. נסמן \(\MKbbk_{i}:=\MKbbk\left(\MKseq{\alpha},i\right)\) ו-\(\beta_{i}:=\left(\alpha_{i}\right)^{n_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\), כמו כן נסמן \(\MKbbk_{0}:=\MKbbk\). מהגדרת \(N\), ומהעובדה שיש ב-\(\MKbbk\) שורש פרימיטיבי מסדר \(N\), נובע שלכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(i\geq j\in\MKnatural\), הפולינום \(x^{n_{j}}-\beta_{j}\) מתפצל ב-\(\MKbbk_{i}\). מכאן שע"פ למה 1.1: לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\), לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(i\geq j\in\MKnatural\), מתקיים \(\sigma\left(\alpha_{j}\right)\in\MKbbk_{i}\), ולכן גם \(\sigma\left(\MKbbk_{i}\right)=\MKbbk_{i}\). ממשפט 1.5 נקבל שלכל \(r\geq i\in\MKnatural\), מתקיים:\[\begin{align*}
\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk_{i}}\right) & \trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\\
\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk_{i-1}}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk_{i}}\right)} & \cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk_{i}}{\MKbbk_{i-1}}\right)
\end{align*}\]ומכיוון שע"פ טענה 1.10 החבורה \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk_{i}}{\MKbbk_{i-1}}\right)\) היא חבורה ציקלית לכל \(r\geq i\in\MKnatural\), נדע של-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\) יש סדרה נורמלית בעלת גורמים ציקליים, כלומר \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\) פתירה.
כעת נוכיח ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) היא חבורה פתירה. ע"פ למה 1.1 לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\)10\(\sigma\left(\zeta\right)\) מוכרח להיות שורש של הפולינום \(x^{N}-1\), ומצד שני הוא מוכרח להיות יוצר של חבורת שורשי הפולינום, כלומר שורש פרימיטיבי., ולכן ממשפט 1.5 נקבל ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) ו-\(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\), מכאן שאם נצליח להוכיח ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) פתירה הרי שבכך נוכיח כי \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) פתירה. ואמנם, ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה ציקלוטומית ולכן \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) היא חבורה אבלית (צריך להוכיח זאת) ובפרט פתירה.
לבסוף נוכיח שההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) פתירה. \(\MKbbe\) הוא שדה הפיצול של הפולינום \(\prod_{i=1}^{r}\left(x-\alpha_{i}\right)\), ולכן ע"פ מסקנה 1.6 מתקיים \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbe}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) וגם \(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKbbe}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\). כזכור הוכחנו בשלב הקודם של ההוכחה ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbl}{\MKfield}\right)\) פתירה, ולפיכך נובע מהשורה הקודמת ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) פתירה.
למה 1.25. נניח ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הפיצול של פולינום מהצורה \(x^{n}-a\) עבור \(a\in\MKfield\) ו-\(n\in\MKnatural\). אם יש ב-\(\MKbbe\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\), אז \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה פתירה.
למה 1.26. איפה אנחנו משתמשים בלמה הזו???
inverted 0status open
הוכחה. נניח שב-\(\MKbbe\) יש שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\in\MKnatural\), וקיים \(a\in\MKfield\) כך ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הפיצול של הפולינום \(x^{n}-a\). יהי \(a\in\MKfield\) כנ"ל, יהי \(\zeta\in\MKbbe\) שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(n\), ונסמן \(\MKbbk:=\MKfield\left(\zeta\right)\), א"כ החבורה \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\) היא חבורה ציקלית (טענה 1.9). \(\MKbbk\) הוא שדה הפיצול של הפולינום \(x^{n}-1\), ולכן ע"פ המסקנה (1.6) מתקיים \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ו-\(\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\), מכאן שאם נצליח להוכיח ש-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) פתירה נוכיח בזה שגם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) פתירה. ואכן, ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה ציקלוטומית ולכן \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) היא חבורה אבלית (צריך להוכיח זאת) ובפרט פתירה.
משפט 1.27. נניח ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הפיצול של פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\), ונניח שקיים שדה \(\Omega\) המרחיב את \(\MKfield\) שבו יש שורש יחידה פרימיטיבי מסדר \(\left[\MKbbe:\MKfield\right]\). \(f\) ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים אם"ם \(f\) פתיר (כלומר חבורת גלואה שלו פתירה).
\(\clubsuit\)
כמובן שהמשפט הזה הוא הסיבה לכך שאנחנו קוראים לחבורות פתירות בשם זה.
1.4 התאמות גלואה
טענה 1.28. לכל שתי תתי-חבורות \(H_{1},H_{2}\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) כך ש-\(H_{1}\leqslant H_{2}\) מתקיים \(\MKclf\left(H_{1}\right)\supseteq\MKclf\left(H_{2}\right)\), וכמו כן לכל שני שדות ביניים \(\MKbbk_{1},\MKbbk_{2}\subseteq\MKbbe\) של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) כך ש-\(\MKbbk_{1}\subseteq\MKbbk_{2}\) מתקיים ו-\(\MKclg\left(\MKbbk_{1}\right)\supseteq\MKclg\left(\MKbbk_{2}\right)\).
טענה 1.29. לכל תת-חבורה \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(H\subseteq\MKclg\left(\MKclf\left(H\right)\right)\), ולכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\MKbbk\subseteq\MKclf\left(\MKclg\left(\MKbbk\right)\right)\).
\(\clubsuit\)
אנחנו נראה בהמשך שאם \(H\) סופית אז \(H=\MKclg\left(\MKclf\left(H\right)\right)\), אך לעומת זאת לא תמיד מתקיים \(\MKbbk=\MKclf\left(\MKclg\left(\MKbbk\right)\right)\).
להביא דוגמה לכך שלא בהכרח מתקיים שוויון \(\MKbbk\subseteq\MKclf\left(\MKclg\left(\MKbbk\right)\right)\).
משפט 1.30. תהא \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) תת-חבורה סופית, מתקיים \(\left|H\right|=\left[\MKbbe:\MKclf\left(H\right)\right]\) (בפרט \(\MKbbe\) נוצר סופית כמרחב וקטורי מעל \(\MKclf\left(H\right)\)).
inverted 0status collapsed
הוכחה. יהיו \(\MKseq{\sigma},m\) כל האוטומורפיזמים השונים ב-\(H\), ותהא \(\left(\MKseq a,n\right)\) סדרה בת"ל ב-\(\MKbbe\) כמ"ו מעל \(\MKclf\left(H\right)\) (כאשר אם \(\MKbbe\) נ"ס כמ"ו מעל \(\MKclf\left(H\right)\) אזי נדרוש ש-\(n=\left[\MKbbe:\MKclf\left(H\right)\right]\)). נתבונן במטריצה:\[
A:=\left[\begin{array}{cccc}
\sigma_{1}\left(a_{1}\right) & \sigma_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & \sigma_{1}\left(a_{n}\right)\\
\sigma_{2}\left(a_{1}\right) & \sigma_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & \sigma_{2}\left(a_{n}\right)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\sigma_{m}\left(a_{1}\right) & \sigma_{m}\left(a_{2}\right) & \cdots & \sigma_{m}\left(a_{n}\right)
\end{array}\right]
\]
נניח בשלילה ש-\(n>m\), מכאן שהעמודות של \(A\) תלויות ליניארית מעל \(\MKbbe\). נסמן ב-\(r\) את הטבעי המינימלי שעבורו כל \(r\) עמודות מבין \(r+1\) העמודות הראשונות הן בת"ל מעל \(\MKbbe\). יהיו \(\MKseq x,{r+1}\in\MKbbe\) שכולם שונים מ-\(0\) ו-\({\color{green}x_{r+1}=1}\), כך שמתקיים (לכל \(m\geq i\in\MKnatural\)):\[
{\color{red}\sum_{j=1}^{r+1}x_{j}\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)=0}
\]מהמינימליות של \(r\) נובע שאכן קיימים \(\MKseq x,{r+1}\) כאלה. יהי \(m\geq k\in\MKnatural\), לכל \(m\geq i\in\MKnatural\) קיים \(m\geq l\in\MKnatural\) יחיד כך שמתקיים:\[
0=\sum_{j=1}^{r+1}\sigma_{k}\left(x_{j}\right)\cdot\left(\sigma_{k}\circ\sigma_{i}\right)\left(a_{j}\right)=\sum_{j=1}^{r+1}\sigma_{k}\left(x_{j}\right)\cdot\sigma_{l}\left(a_{j}\right)
\]שכן הרכבת \(\sigma_{k}\) היא תמורה על \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKclf\left(H\right)}\right)\). מכאן שלכל \(m\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[
{\color{blue}\sum_{j=1}^{r+1}\sigma_{k}\left(x_{j}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)=0}
\]וממילא גם:\[\begin{align*}
0 & =\sum_{j=1}^{r+1}\left({\color{blue}\sigma_{k}\left(x_{j}\right)}-{\color{red}x_{j}}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)=\sum_{j=1}^{r}\left(\sigma_{k}\left(x_{j}\right)-x_{j}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)+\left(\sigma_{k}\left({\color{green}1}\right)-{\color{green}1}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)\\
& =\sum_{j=1}^{r}\left(\sigma_{k}\left(x_{j}\right)-x_{j}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)+\left(1-1\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)=\sum_{j=1}^{r}\left(\sigma_{k}\left(x_{j}\right)-x_{j}\right)\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)
\end{align*}\]ולכן מההנחה ש-\(r\) העמודות הראשונות של \(A\) בת"ל נובע ש-\(\sigma_{k}\left(x_{j}\right)=x_{j}\) לכל \(r\geq j\in\MKnatural\). \(k\) הנ"ל היה שרירותי, ולכן לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKclf\left(H\right)}\right)\) ולכל \(r\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(\sigma\left(x_{j}\right)=x_{j}\), כלומר \(\MKseq x,r\in\MKclf\left(H\right)\). אבל \(\MKid_{\MKbbe}\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKclf\left(H\right)}\right)\) ולכן:\[
{\color{red}0=\sum_{j=1}^{r+1}x_{j}\cdot\MKid_{\MKbbe}\left(a_{j}\right)}=\sum_{j=1}^{r+1}x_{j}\cdot a_{j}
\]בסתירה לכך ש-\(\left(\MKseq a,n\right)\) היא סדרה בת"ל ו-\(x_{1}\neq0\), מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ומתקיים \(n\leq m\).
יהי \(y\in\MKbbe^{m}\) כך ש-\(A^{t}\cdot y=0\), מכאן שלכל \(n\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot\sigma_{i}\left(a_{j}\right)=0
\]כעת יהי \(v\in\MKbbe\), ויהיו \(\MKseq c,n\in\MKclf\left(H\right)\) כך ש-\(v=\sum_{j=1}^{n}c_{j}\cdot a_{j}\) (ראינו ש-\(\left(\MKseq a,n\right)\) בסיס).\[\begin{align*}
\Rightarrow\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot\sigma_{i}\left(v\right) & =\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot\sigma_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}c_{j}\cdot a_{j}\right)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\cdot y_{i}\cdot\sigma_{i}\left(c_{j}\right)\cdot\sigma_{k}\left(a_{j}\right)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}y_{i}\cdot c_{j}\cdot\sigma_{k}\left(a_{j}\right)\\
& =\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot c_{j}\cdot\sigma_{k}\left(a_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}\cdot\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot\sigma_{k}\left(a_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}\cdot0=0
\end{align*}\]מהיות \(v\) שרירותי נובע כי \(\sum_{i=1}^{m}y_{i}\cdot\sigma_{i}=0\), ולכן מלמה 1.8 נובע ש-\(y=0\). מכאן שהשורות של \(A\) בת"ל ובפרט \(m\geq n\).
נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה סופית.
לכל תת-חבורה \(H\leq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(H=\MKclg\left(\MKclf\left(H\right)\right)\).
\(\MKclf\) חח"ע ו-\(\MKclg\) על.
\(\clubsuit\)
א"כ יש לנו כיוון כיצד לענות על השאלה שלנו: כדי ש-\(\MKclf\) ו-\(\MKclg\) תהיינה הופכיות זו לזו אנחנו צריכים למצוא מתי מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\) לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\).
\(\clubsuit\)
לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\), המקיים את תנאי משפט 1.5, מתקיים:\[
\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|\cdot\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\right|
\]לו היה הדבר נכון לכל שדה ביניים היינו יכולים להוכיח שאם \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\) אז לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\) . אלא שלא תמיד מתקיימים תנאי המשפט, ולכן הדבר היחיד שאנחנו יכולים לומר הוא שאם \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\), אז לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים11ההעתקה \(\sigma\mapsto\left.\sigma\right|_{\MKbbk}\) מוגדרת היטב על קבוצת המחלקות \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)/\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\), היא חח"ע, ותמונתה היא \(\left\{ \sigma:\MKbbk\hookrightarrow\MKbbe\mid\sigma\mid_{\MKfield}=\MKid_{\MKfield}\right\} \).:\[
\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)/\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left|\left\{ \sigma:\MKbbk\hookrightarrow\MKbbe\mid\sigma\mid_{\MKfield}=\MKid_{\MKfield}\right\} \right|
\]למרות זאת, במשפט הבא אנחנו נראה שאמירה זו מספיקה כדי להוכיח את השוויון המבוקש לכל שדה ביניים.
את סעיף3(ואת סעיף4הנובע ממנו) ראינו רק במקרה שבו \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה, וזאת למרות שהוא נכון לכל הרחבה.
משפט 1.32. אם \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\), אז לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\).
ראינו את המשפט הזה בשלב מאוחר מאוד של הקורס, ואת ההוכחה שאביא כעת לא ראינו כלל.
inverted 0status collapsed
הוכחה. נניח ש-\(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\) ונסמן \(I:=\left\{ \sigma:\MKbbk\hookrightarrow\MKbbe\mid\sigma\mid_{\MKfield}=\MKid_{\MKfield}\right\} \).\[
\Rightarrow\left|I\right|=\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)/\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\frac{\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|}{\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|}=\frac{\left[\MKbbe:\MKfield\right]}{\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|}
\]ולכן גם:\[
\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\frac{\left[\MKbbe:\MKfield\right]}{\left|I\right|}=\frac{\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\cdot\left[\MKbbk:\MKfield\right]}{\left|I\right|}
\]וע"פ המסקנה האחרונה (1.16) נקבל:\[
\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\Longleftrightarrow\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|\geq\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\Longleftrightarrow\left|I\right|\geq\left[\MKbbk:\MKfield\right]
\]א"כ נוכיח ש-\(\left|I\right|\geq\left[\MKbbk:\MKfield\right]\). יהי \(\left(\MKseq a,l\right)\) בסיס של \(\MKbbk\) כמ"ו מעל \(\MKfield\), ויהיו \(\MKseq b,k\in\MKbbe\) כך ש-\(\left(\MKseq a,l;\MKseq b,k\right)\) בסיס של \(\MKbbe\) כמ"ו מעל \(\MKfield\). נסמן \(n:=l+k=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\), יהיו \(\MKseq{\sigma},m\) כל האוטומורפיזמים השונים ב-\(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), ונסמן:\[
A:=\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\sigma_{1}\left(a_{1}\right) & \cdots & \sigma_{1}\left(a_{l}\right) & \sigma_{1}\left(b_{1}\right) & \cdots & \sigma_{1}\left(b_{k}\right)\\
\sigma_{2}\left(a_{1}\right) & \cdots & \sigma_{2}\left(a_{l}\right) & \sigma_{2}\left(b_{1}\right) & \cdots & \sigma_{2}\left(b_{k}\right)\\
\sigma_{3}\left(a_{1}\right) & \cdots & \sigma_{3}\left(a_{l}\right) & \sigma_{3}\left(b_{1}\right) & \cdots & \sigma_{3}\left(b_{k}\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\sigma_{m}\left(a_{1}\right) & \cdots & \sigma_{m}\left(a_{l}\right) & \sigma_{m}\left(b_{1}\right) & \cdots & \sigma_{m}\left(b_{k}\right)
\end{array}\right]
\]מהעובדה ש-\(a_{i}\in\MKbbk\) לכל \(l\geq i\in\MKnatural\), ומהעובדה שכל איבר ב-\(I\) הוא צמצום של איבר \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) ל-\(\MKbbk\), נובע שניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות על \(A\), ולקבל בבלוק השמאלי בדיוק \(\left|I\right|\) שורות שאינן שורות אפסים. אבל כפי שראינו בהוכחה של משפט 1.15\(A\) היא מטריצה הפיכה, ולכן גם כל מטריצה שמתקבלת ממנה ע"י פעולות שורה אלמנטריות גם היא הפיכה, ומכאן שבהכרח מספר העמודות בבלוק השמאלי קטן או שווה למספר השורות שאינן שורות אפסים בבלוק זה, כלומר \(\left[\MKbbk:\MKfield\right]=l\leq\left|I\right|\) כנדרש.
מסקנה 1.33. \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם"ם \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\).
מסקנה 1.34. נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה אלגברית פשוטה, ויהי \(\alpha\in\MKbbe\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\alpha\right)\). \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם"ם \(m_{\alpha}\) מתפצל ב-\(\MKbbe\) לגורמים ליניאריים שונים.
\(\:\)
2 הרחבות ספרביליות והרחבות נורמליות
2.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 2.1. נאמר שפולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) הוא ספרבילי אם בשדה הפיצול שלו הוא מתפרק לגורמים ליניאריים שונים, כלומר הריבוי של כל אחד משורשיו הוא \(1\). בהינתן הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) נאמר שאיבר \(\alpha\in\MKfield\) הוא ספרבילי אם \(m_{\alpha}\) ספרבילי, וכמו כן נאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה ספרבילית אם כל \(\alpha\in\MKbbe\) ספרבילי.
סימון:
יהיו \(\Omega\) שדה סגור אלגברית ו-\(\varphi:\MKfield\hookrightarrow\Omega\) שיכון, לכל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) נסמן \(I_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):=\left\{ \hat{\varphi}:\MKbbe\hookrightarrow\Omega\mid\left.\hat{\varphi}\right|_{\MKfield}=\varphi\right\} \) ו-\(i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):=\left|I_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|\), כלומר \(i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) הוא מספר השיכונים של \(\MKbbe\) ב-\(\Omega\) המרחיבים את \(\varphi\).
סימון:
לכל פולינום \(f:=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}\in\Omega\) נסמן \(\varphi\left(f\right):=\sum_{i=0}^{n}\varphi\left(a_{i}\right)\cdot x^{i}\in\Omega\).
סימון:
לכל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) נסמן \(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):=i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) עבור שדה סגור אלגברית \(\Omega\) ושיכון \(\varphi:\MKfield\hookrightarrow\Omega\), ונקרא ל-\(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\)דרגת הספרביליות של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\).
\(\clubsuit\)
דרגת הספרביליות נקראת כך משום שהיא מודדת עד כמה כל הרחבה פשוטה ב"מגדל" ההרחבות שיוצר את \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא ספרבילית (כמה שורשים שונים יש לפולינום המינימלי של יוצר ההרחבה).
למה. יהיו \(\Omega\) שדה סגור אלגברית ו-\(\varphi:\MKfield\hookrightarrow\Omega\) שיכון; לכל \(\alpha\in\Omega\), \(i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKfield\left(\alpha\right)}{\MKfield}\right)\) שווה למספר השורשים השונים של \(\varphi\left(m_{\alpha}\right)\) ב-\(\Omega\).
למה. יהיו \(\Omega\) שדה סגור אלגברית ו-\(\varphi_{1},\varphi_{2}:\MKfield\hookrightarrow\Omega\) שיכונים; לכל פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\), מספר השורשים השונים של \(\varphi_{1}\left(f\right)\) שווה למספר השורשים השונים של \(\varphi_{2}\left(f\right)\).
משפט. תהיינה \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) ו-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\) הרחבות שדות, יהיו \(\Omega_{1}\) ו-\(\Omega_{2}\) שדות סגורים אלגברית, ויהיו \(\varphi_{1}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{1}\) ו-\(\varphi_{2}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{2}\) שיכונים. אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה סופית אז מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
הגדרה 2.2. תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות, נאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית אם לכל פולינום אי-פריק \(f\in\MKfield\left[x\right]\), כך שיש ל-\(f\) שורש ב-\(\MKbbe\), \(f\) מתפצל ב-\(\MKbbe\).
מסקנה 2.3. תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות, \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית אם"ם לכל \(\alpha\in\MKbbe\) הפולינום המינימלי של \(\alpha\) מעל \(\MKfield\) מתפצל ב-\(\MKbbe\).
\(\:\)
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות סופית, יהי \(\Omega\) שדה סגור אלגברית, ויהי \(\varphi:\MKfield\hookrightarrow\Omega\) שיכון.
2.2 הרחבות ספרביליות
למה 2.4. לכל \(\alpha\in\Omega\), מספר השורשים השונים של \(\varphi\left(m_{\alpha}\right)\) ב-\(\Omega\) הוא \(i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKfield\left(\alpha\right)}{\MKfield}\right)\).
\(\clubsuit\)
בפרט עבור \(\varphi=\MKid\) נקבל ש-\(i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKfield\left(\alpha\right)}{\MKfield}\right)\) שווה למספר השורשים השונים של \(m_{\alpha}\).
סימון:
לכל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) נסמן \(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):=i_{\varphi,\Omega}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) עבור שדה סגור אלגברית \(\Omega\) ושיכון \(\varphi:\MKfield\hookrightarrow\Omega\), ונקרא ל-\(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\)דרגת הספרביליות של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\).
\(\clubsuit\)
דרגת הספרביליות נקראת כך משום שהיא מודדת עד כמה כל הרחבה פשוטה ב"מגדל" ההרחבות שיוצר את \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא ספרבילית (כמה שורשים שונים יש לפולינום המינימלי של יוצר ההרחבה).
למה 2.5. יהיו \(\Omega_{1}\) ו-\(\Omega_{2}\) שדות סגורים אלגברית, ויהיו \(\varphi_{1}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{1}\) ו-\(\varphi_{2}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{2}\) שיכונים. לכל פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\), מספר השורשים השונים של \(\varphi_{1}\left(f\right)\) ב-\(\Omega_{1}\) שווה למספר השורשים השונים של \(\varphi_{2}\left(f\right)\) ב-\(\Omega_{2}\).
משפט 2.6. יהיו \(\Omega_{1}\) ו-\(\Omega_{2}\) שדות סגורים אלגברית, ויהיו \(\varphi_{1}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{1}\) ו-\(\varphi_{2}:\MKfield\hookrightarrow\Omega_{2}\) שיכונים, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(i_{\varphi_{1},\Omega_{1}}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)=i_{\varphi_{1},\Omega_{1}}\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\cdot i_{\varphi_{1},\Omega_{1}}\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\).
משפט 2.7. יחידות שדה הפיצול יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) ויהיו \(\MKbbe_{1}\) ו-\(\MKbbe_{2}\) שדות פיצול של \(f\), מתקיים \(\MKbbe_{1}\cong\MKbbe_{2}\); כלומר שדה פיצול של פולינום הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
משפט 2.8. לכל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\leq\left[\MKbbe:\MKfield\right]\), ובנוסף מתקיים \(i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)=\left[\MKbbe:\MKfield\right]\) אםם ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) ספרבילית.
מסקנה 2.10. יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbe\) שדה פיצול של \(f\), אם \(f\) ספרבילי אז גם ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) ספרבילית.
טענה 2.11. תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבה סופית, התנאים הבאים שקולים:
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה ספרבילית.
לכל קבוצת יוצרים של \(\MKbbe\) מעל \(\MKfield\) - כל איבריה ספרביליים מעל \(\MKfield\).
קיימת קבוצת יוצרים של \(\MKbbe\) מעל \(\MKfield\) שכל איבריה ספרביליים מעל \(\MKfield\).
2.3 הרחבות נורמליות
טענה 2.12. יהי \(\MKbbk\) שדה ביניים של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\), אם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית אז לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\), וע"פ משפט 1.5 מתקיים גם \({\displaystyle \nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)}\).
טענה 2.13. מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|\leq i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\); ובנוסף, מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\right|=i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) אם"ם לכל שדה סגור אלגברית \(\Omega\) המכיל את \(\MKbbe\), ולכל שיכון \(\tau:\MKbbe\hookrightarrow\Omega\), מתקיים \(\tau\left(\MKbbe\right)=\MKbbe\).
משפט 2.14. התנאים הבאים שקולים:
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית.
\(\MKbbe\) הוא שדה פיצול של פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) כלשהו.
מסקנה 2.15. יהי \(\MKbbk\) שדה ביניים, \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית אם"ם גם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\) נורמלית.
\(\clubsuit\)
נשים לב: בניגוד לספרביליות לא מתקיים כאן שאם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\) ו-\(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) נורמליות אז \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) נורמלית. לדוגמה: ההרחבות \(\nicefrac{\MKrational\left(\sqrt{2}\right)}{\MKrational}\) ו-\(\nicefrac{\MKrational\left(\sqrt{2},\sqrt[4]{2}\right)}{\MKrational\left(\sqrt{2}\right)}\) הן הרחבות נורמלית שכן \(\MKrational\left(\sqrt{2}\right)\) הוא שדה הפיצול של \(x^{2}-2\) ו-\(\MKrational\left(\sqrt{2},\sqrt[4]{2}\right)\) הוא שדה הפיצול של \(x^{2}-\sqrt{2}\), אבל למרות זאת ההרחבה \(\nicefrac{\MKrational\left(\sqrt{2},\sqrt[4]{2}\right)}{\MKrational}\) אינה נורמלית שכן לפולינום \(x^{4}-2\) יש שורש ב-\(\MKrational\left(\sqrt{2},\sqrt[4]{2}\right)\) אך הוא אינו מתפצל ב-\(\MKrational\left(\sqrt{2},\sqrt[4]{2}\right)\).
3 הרחבות גלואה
3.1 הגדרות
הגדרה 3.1. נאמר שהרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם היא נורמלית וספרבילית.
הגדרה 3.2. נאמר ש-\(\MKfield\) הוא שדה משוכלל אם כל הרחבה אלגברית שלו היא ספרבילית.
הערה:
במקומות אחרים אומרים על שדה כזה שהוא מושלם.
\(\clubsuit\)
נשים לב: כש-\(i\) מופיע בחזקה (\(x^{i}\)) הוא איבר ב-\(\MKnatural_{0}\), ואילו כאשר הוא מופיע במקדמי הפולינום (\(\left(i+1\right)\cdot a_{i+1}\)) הוא איבר ב-\(\MKfield\), בפרט ייתכן שמקדמים יתאפסו (אם \(\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני) וכתוצאה מכך יתקיים \(\deg f'<\deg f-1\).
סימון:
יהי \(\MKbbe\) שדה הרחבה של \(\MKfield\), הסגור הספרבילי של \(\MKfield\) בתוך \(\MKbbe\) הוא הקבוצה \(\MKfield_{\MKbbe}^{\MKsep}:=\left\{ \alpha\in\MKbbe\mid\MKfield\ \text{ספרבילי מעל}\ \alpha\right\} \).
הגדרה 3.3. יהי \({\displaystyle f\left(x\right):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}\in\MKfield\left[x\right]}\) פולינום, פולינום הנגזרת של \(f\) הוא הפולינום \({\displaystyle f'\left(x\right):=\sum_{i=0}^{n-1}\left(i+1\right)\cdot a_{i+1}\cdot x^{i}}\).
טענה. לכל שדה הרחבה \(\MKbbe\) של \(\MKfield\), גם \(\MKfield_{\MKbbe}^{\MKsep}\) הוא שדה הרחבה של \(\MKfield\).
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
3.2 המשפט היסודי של תורת גלואה
למה 3.4. לכל \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbh}\right)\) ו-\(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbh}\right)\) מתקיים \(\sigma\left(\MKclf\left(H\right)\right)=\MKclf\left(\sigma H\sigma^{-1}\right)\).
למה 3.5. נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה ויהי \(\MKbbk\) שדה ביניים של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\), ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אם"ם \(\sigma\left(\MKbbk\right)=\MKbbk\) לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\), ובמקרה כזה מתקיים \({\displaystyle \nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)}\).
משפט 3.6. המשפט היסודי של תורת גלואה
נניח ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) סופית, התנאים הבאים שקולים:
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה (לפי ההגדרה שלי: \(\MKclf\) ו-\(\MKclg\) הופכיות זו לזו).
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית וספרבילית (זו ההגדרה שראינו בכיתה לכך ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה).
\(\MKbbe\) הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) כלשהו.
לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right|=\left[\MKbbe:\MKbbk\right]\).
בנוסף, אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אז מתקיים:
לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\MKclg\left(\MKbbk\right)\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) (\(\MKclg\left(\MKbbk\right)\) נורמלית) אם"ם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית, ובמקרה כזה מתקיים גם:\[
\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)
\]
לכל תת-חבורה \(H\leqslant\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) מתקיים \(H\trianglelefteq\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) (\(H\) נורמלית) אם"ם \(\nicefrac{\MKclf\left(H\right)}{\MKfield}\) היא הרחבה נורמלית, ובמקרה כזה מתקיים גם:\[
\nicefrac{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)}{\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKclf\left(H\right)}\right)}\cong\MKgal\left(\nicefrac{\MKclf\left(H\right)}{\MKfield}\right)
\]
לא ראינו את השקילות של סעיפים1ו-5 לסעיפים האחרים (לפחות לא באופן מפורש), אלא ראינו רק שסעיפים 2-4(ששקולים זה לזה) גוררים את1ו-5.
\(\clubsuit\)
א"כ מצאנו את מה שחיפשנו, השאלה היא רק מתי פולינום נתון הוא פולינום ספרבילי ובזה נעסוק בסעיף הבא.
מסקנה 3.7. אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבת גלואה אז לכל שדה ביניים \(\MKbbk\) של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\left[\MKbbk:\MKfield\right]=\left[\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right):\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKbbk}\right)\right]\).
3.3 מתי פולינום נתון הוא ספרבילי?
משפט 3.8. לכל שני פולינומים \(f,g\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים \(\left(f+g\right)'=f'+g'\) ו-\(\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'\).
מסקנה 3.9. יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbe\) שדה פיצול של \(f\), יהיו \(\MKseq{\alpha},n\in\MKbbe\) כל השורשים השונים של \(f\), ויהיו \(\MKseq e,r\in\MKnatural\) כך שמתקיים:\[
f\left(x\right)=\prod_{i=1}^{r}\left(x-\alpha_{i}\right)^{e_{r}}
\] מתקיים גם:\[
f'\left(x\right)=\sum_{i=1}^{r}e_{i}\cdot\frac{f\left(x\right)}{x-\alpha_{i}}
\]
מסקנה 3.10. יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\), הריבוי האלגברי של שורש \(\alpha\in\MKfield\) גדול מ-\(1\) אםם \(x-\alpha\mid f'\).
למה 3.11. לכל שני פולינומים \(f,g\in\MKfield\left[x\right]\), המחלק המשותף המקסימלי שלהם מעל \(\MKfield\) הוא גם המחלק המשותף המקסימלי מעל כל שדה הרחבה של \(\MKfield\).
טענה 3.12. יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום, \(f\) ספרבילי אםם \(\gcd\left(f,f'\right)=1\).
אם \(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\) אז \(f\) ספרבילי.
אם \(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני ולא קיים \(g\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(f\left(x\right)=g\left(x^{p}\right)\) אז \(f\) ספרבילי.
אם \(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\) אז כל הרחבה אלגברית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא ספרבילית.
אם \(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני אז כל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) כך ש-\(p\) אינו מחלק את \(\left[\MKbbe:\MKfield\right]\) היא הרחבה ספרבילית.
אם \(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\) אז \(\MKfield\) הוא שדה משוכלל.
אם \(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני אז \(\MKfield\) הוא שדה משוכלל אםם ההעתקה \(x\mapsto x^{p}\) היא על.
מסקנה 3.14. \(\:\)
משפט 3.15. \(\:\)
למה 3.16. נניח ש-\(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני, הפונקציה \(\varphi:\MKfield\rightarrow\MKfield\) המוגדרת עי \(\varphi\left(x\right):=x^{p}\) לכל \(x\in\MKfield\) היא שיכון (של חוגים).
טענה 3.18. לכל שדה הרחבה \(\MKbbe\) של \(\MKfield\), גם \(\MKfield_{\MKbbe}^{\MKsep}\) הוא שדה הרחבה של \(\MKfield\).
משפט 3.19. תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבה סופית, מתקיים \(\left[\MKfield_{\MKbbe}^{\MKsep}:\MKfield\right]=i\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\).
4 מסקנות מתורת גלואה
4.1 הגדרות
האם יש הגדרות בפרק זה?
\(\:\)
4.2 המשפט היסודי של האלגברה
טענה 4.1. אם כל פולינום \(f\in\MKreal\left[x\right]\) מתפצל ב-\(\MKcomplex\) אז גם כל פולינום \(f\in\MKcomplex\left[x\right]\) מתפצל ב-\(\MKcomplex\).
תזכורת:
ראינו באינפי'1שלכל פולינום \(f\in\MKreal\left[x\right]\), אם הדרגה \(\deg f\) אי-זוגית אז קיים \(x\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(x\right)=0\).
תזכורת:
תהא \(G\) חבורה סופית, יהי \(p\in\MKnatural\) ראשוני ונסמן \(n:=\max\left\{ k\in\MKnatural_{0}:\left|G\right|\ \text{מחלק את}\ p^{k}\right\} \). ראינו בקורס הקודם שבמקרה כזה לכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) קיימת תת-חבורה \(H\leqslant G\) כך ש-\(\left|H\right|=p^{k}\).
מסקנה 4.2. לכל פולינום אי-פריק \(f\in\MKreal\left[x\right]\) הדרגה \(\deg f\) זוגית, ומכאן שלכל הרחבה סופית לא טריוויאלית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKreal}\) דרגת ההרחבה \(\left[\MKbbe:\MKreal\right]\) זוגית.
טענה 4.3. לכל הרחבת גלואה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKreal}\) קיים \(n\in\MKnatural_{0}\) כך ש-\(\left[\MKbbe:\MKreal\right]=2^{n}\).
טענה 4.4. לכל פולינום אי-פריק \(f\in\MKcomplex\left[x\right]\) מתקיים \(\deg f\neq2\), מכאן שלכל הרחבה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKcomplex}\) מתקיים \(\left[\MKbbe:\MKcomplex\right]\neq2\).
מסקנה 4.5. לא קיימת הרחבת גלואה סופית \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKcomplex}\) כך ש-\(\left[\MKbbe:\MKcomplex\right]=2^{n}\) עבור \(n\in\MKnatural\) כלשהו.
משפט 4.6. המשפט היסודי של האלגברה כל פולינום \(f\in\MKcomplex\left[x\right]\) מתפצל ב-\(\MKcomplex\), כלומר \(\MKcomplex\) סגור אלגברית.
4.3 שדות סופיים
יהי \(p\in\MKnatural\) ראשוני.
טענה 4.7. הפולינום \(x^{p^{n}}-x\in\MKfield_{p}\left[x\right]\) ספרבילי לכל \(n\in\MKnatural\).
משפט 4.8. לכל \(n\in\MKnatural\) קיים שדה בגודל \(p^{n}\), ושדה זה הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
סימון:
ולכל \(n\in\MKnatural\) נסמן את השדה הנל ב-\(\MKfield_{p^{n}}\).
מסקנה 4.9. לכל \(n\in\MKnatural\), ההרחבה \(\nicefrac{\MKfield_{p^{n}}}{\MKfield_{p}}\) היא הרחבת גלואה מדרגה \(n\).
משפט 4.10. יהי \(n\in\MKnatural\), קיימת התאמה חח"ע ועל בין המחלקים של \(n\) לבין תתי-השדות של \(\MKfield_{p^{n}}\), בפרט: לכל \(d\in\MKnatural\), \(\MKfield_{p^{d}}\) הוא תת-שדה של \(\MKfield_{p^{n}}\) אם"ם \(d\mid n\).
למה 4.11. הפולינום \(x^{p}-t\in\MKfield_{p}\left(t\right)\left[x\right]\)13\(\MKfield_{p}\left(t\right)\left[x\right]\) הוא חוג הפולינומים מעל שדה הפונקציות הרציונליות \(\MKfield_{p}\left(t\right)\) אי-פריק מעל \(\MKfield_{p}\left(t\right)\) ובעל שורש יחיד ב-\(\overline{\MKfield_{p}\left(t\right)}\).
מסקנה 4.12. נתבונן בהרחבה \(\nicefrac{\MKfield_{p}\left(t\right)}{\MKfield_{p}}\), מתקיים \(\left[\MKfield_{p}\left(\sqrt[p]{t}\right):\MKfield_{p}\right]=p\) ו-\(\left|\MKgal\left(\nicefrac{\MKfield_{p}\left(\sqrt[p]{t}\right)}{\MKfield_{p}}\right)\right|=1\).
מסקנה 4.13. ההרחבה \(\nicefrac{\MKfield_{p}\left(\sqrt[p]{t}\right)}{\MKfield_{p}}\) היא הרחבה אלגברית שאינה ספרבילית.
5 נספח: בניות בסרגל ובמחוגה
5.1 הגדרות
יש לכתוב פרק זה
יש לכתוב פרק זה
\(\:\)
6 שאריות
6.1 הגדרות
הגדרה 6.1. הדיסקרימיננטה יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbe\) שדה הפיצול של \(f\), ויהיו \(\MKseq{\alpha},{\deg f},c\in\MKbbe\) כך שמתקיים:\[
f\left(x\right)=c\cdot\prod_{i=1}^{\deg f}\left(x-\alpha_{i}\right)
\]הדיסקרימיננטה של \(f\) היא:\[
\Delta f=\prod_{i<j\leq\deg f}\left(\alpha_{i}-\alpha_{j}\right)
\]
מה???
למה 6.2. לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(a\in\MKfield\), שדה הפיצול של \(x^{n}-a\in\MKrational\left[x\right]\) הוא \(\MKrational\left(\sqrt[n]{a},\MKcis\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)\).
הגדרה 6.3. לכל \(n\in\MKnatural\), השדה \(\MKrational\left(\MKcis\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)\) ייקרא השדה הציקלוטומי מדרגה \(n\).
משפט 6.4. נניח ש-\(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\), ויהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום, \(\MKbbe\) שדה הפיצול של \(\MKfield\) ו-\(a\in\MKbbe\); אם \(\sigma\left(a\right)\in\MKfield\) לכל \(\sigma\in\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\) אז \(a\in\MKfield\).
טענה 6.5. נניח ש-\(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\) ויהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום מדרגה \(n\), מתקיים \(\pm\sqrt{\Delta f}\in\MKfield\) אםם \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\leqslant A_{n}\).
טענה 6.6. יהי \(\MKfield\) שדה ראשוני, \(\MKaut\left(\MKfield\right)\) היא החבורה הטריוויאלית.
מסקנה 6.7. יהי \(\MKfield\) שדה ראשוני, לכל הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) מתקיים \(\MKaut\left(\MKbbe\right)=\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\right)\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );